DIMENSÕES QU´MICA DE GRACELI - ALGORITMOS DE GRACELI E SÉRIES PROGRESSIMAIS.

 CAPACIDADE  DE TRANSFORMAÇÕES DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E POTENCIAL DE INTERAÇÕES DOS MATERIAIS, MOLÉCULAS, E ELMENTOS QUÍMICOS E PARTÍCULAS.

ALGORITMO DE ´SRIE DDE GRACELI.

SEQUENCIAIS PROGRESSIMEIS DE GRACELI.

 EXEMPLO+ 1 / P

P = PROGRESSÃO DE 3.

OU PROGRESSÕES.

P X / PY =

PX / PY / [PW/PK] =

                                                    [PJ]

PX / PY / [PW/PK] /            [PF]           =

E OUTTROS.

EM RELAÇÃO AO TEOREMA DE PITÁGORAS.

 (${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$)

SENDO N = PROGRESSÕES DE GRACELI.

Série COM PROGESSÕES DE GRACELI. ONDE TODO N = PROGRESSÕES DE GRACELI.

Em matemática, define-se uma série ou série infinita, a partir de uma sequência ${\displaystyle {a_{n}}}$, a soma infinita

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...}$^[1]

• 
  

Dificuldades na definição

Esta generalização pode trazer diversas dificuldades:

• Nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;

Exemplo: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (-1)^{n-1}=\underbrace {(1-1)} _{0}+\underbrace {(1-1)} _{0}+\underbrace {(1-1)} _{0}+\cdots =0}$

Ou,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (-1)^{n-1}=1+\underbrace {(-1+1)} _{0}+\underbrace {(-1+1)} _{0}+\underbrace {(-1+1)} _{0}+\cdots =1}$

• Algumas séries possuem o valor de sua soma infinito;

Exemplo: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+1+1+1+1+1+...=\infty }$

• Nem sempre é possível trocar a ordem dos termos da série, porque o seu valor se altera, isso acontece nas séries condicionalmente convergentes;

Exemplo:  ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n+1}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...}$ e ${\displaystyle {\frac {3}{2}}S={\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4n-3}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$

Podemos ver que neste caso ${\displaystyle {\frac {3}{2}}S=S}$ devido a uma mudança na ordem dos termos, colocando dois positivos seguido de um negativo. Alterou-se o valor da soma.

Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}...}$, da seguinte forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u_{n}}$= ${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...}$

Observe que é necessária a soma ordenada, para fugir dos problemas apontados acima.

Um primeiro exemplo: A corrida de Aquiles vista pelo Paradoxo de Zenão

Zenão foi um filósofo grego pré-socrático. Ele estudou o ramo da filosofia que trata da lógica e criou alguns paradoxos, nos quais afirmava que tempo e movimento não existem.

“Numa manhã de Sábado, o guerreiro Aquiles, o melhor do exército grego, resolveu apostar uma corrida com uma tartaruga para mostrar que era muito veloz. Entretanto, como sua vitória parecia iminente, resolveu dar uma colher de chá, deu uma vantagem de 1 Km para a tartaruga.” Dos relatos históricos, descobriu-se que a velocidade de Aquiles era dez vezes maior do que a tartaruga. Assim, se Aquiles corria a 10 m/s, a tartaruga corria a 1 m/s.

Nessa situação, Zenão afirma que Aquiles nunca ultrapassará a tartaruga. Para isso, ele conjectura que, quando Aquiles alcança o ponto em que a tartaruga partiu ela já haveria andado uma distância e, quando ele chegasse ao segundo ponto, ela já haveria andado mais uma pequena distância e, assim, indefinidas vezes. Zenão usa a tartaruga como referencial para sabermos a posição de Aquiles, isso mostra que a diferença entre os dois diminui, mas Aquiles nunca irá alcançar, quanto menos ultrapassar a tartaruga.

Os argumentos lógicos usados por Zenão estão corretos mas,por que ele erra? Sabe-se que Aquiles, no mundo real, ultrapassa a tartaruga, então qual o equívoco dos argumentos?

Analisando os dados que temos usando as proposições lógicas do filósofo:

Tempo (s)	Posição da tartaruga (m)	Posição de Aquiles (m)	Diferença da tartaruga em relação a Aquiles (m)
0	1000	0	1000
100	1100	1000	100
110	1110	1100	10
111	1111	1110	1
111,1	1111,1	1111	0,1
111,11	1111,11	1111,1	0,01
...	...	...	...
111,111[…]1	1111,111[…]1	1111,11[…]1	0,000[…]1

A questão se resume em somar todas as diferenças da posição tartaruga em relação a Aquiles e com esse resultado descobrir, de forma exata, que distância Aquiles precisa caminhar para alcançar a tartaruga. Ou seja, quer encontrar-se a soma S , tal que: S = 1000 + 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + …

Perceba que deseja-se uma soma com infinitas parcelas, a qual denomina-se de soma de uma série. Olhando mais de perto essa não é uma soma qualquer, os termos utilizados na soma tem uma peculiaridade: o posterior é sempre o anterior dividido por 10, ou seja, essa é uma Progressão Geométrica (PG) de razão 1/10.

Observa-se na tabela, a soma desta série é 1111,11... Uma dízima periódica que tem por fração geratriz ${\displaystyle {\frac {10000}{9}}}$. (Na sequência apresenta-se uma maneira mais prática para obter este resultado).

Escreve-se assim, ${\displaystyle S=1000+100+10+1+0,1+0,01+\cdots ={\frac {10000}{9}}}$.

Conclui-se, então, que mesmo tendo infinitas parcelas é possível encontrar um número real como resposta para essa soma e, por este motivo, Zenão erra. Ele aborda o problema de forma que o tempo caminhe de forma geométrica, o que não é errado, mas não serve para provar sua conclusão.

Para analisar se houve ultrapassagem ou não, deve-se abordar o problema tal que a referência seja o tempo, não mais a posição da tartaruga. Veja:

Tempo (s)	Posição da tartaruga (m)	Posição de Aquiles (m)	Diferença da tartaruga em relação a Aquiles (m)
0	1000	0	1000
20	1020	200	820
40	1040	400	640
60	1060	600	460
80	1080	800	280
100	1100	1000	100
112	1112	1120	-8
120	1120	1200	-80

Analisando a tabela, é possível observar que no instante 80 s Aquiles está 280 m atrás da tartaruga, mas no instante 112 s Aquiles ultrapassou-a em 8 m. Assim,conclui-se que a intuição inicial e o mundo real estão corretos, Aquiles realmente ultrapassa a tartaruga, quebrando definitivamente o paradoxo de Zenão.

Notação

Generalizando para todo caso temos que, se forem ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},\ldots }$ os termos da sequência que desejamos somar, a soma ${\displaystyle S}$ da série será: ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$

Considera-se deste modo sempre a genericidade: Uma letra maiúscula como o valor da soma da série e uma letra minúscula seguida do índice como uma sequência.

Quando estiver tratando de somas em que o índice superior é infinito e se tratando de uma série genérica, não precisa-se evidenciar nenhum dos dois índices. Essa observação prevê praticidade para demonstrações que se seguem neste texto e, ainda mais porque não existe influência na conclusão a omissão destes índices. Ou seja, para casos em que temos uma soma de uma sequência genérica denota-se da seguinte forma: ${\displaystyle S=\sum _{}^{}u_{n}}$.

Quando se tratar de um caso numérico em que busca-se a soma S, é indispensável saber os índices e essa observação, então, não se aplica. Como uma forma de ilustrar esta colocação, utiliza-se o primeiro exemplo: ${\displaystyle u_{1}=1000,u_{2}=100,u_{3}=10}$,

${\displaystyle u_{n}={\frac {1000}{1}}*\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}}$ e ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }1000\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}}$

Para estudar com mais exatidão a soma de uma série infinita, (re)parte-se esta soma e chama-se de soma parcial até o termo k de ${\displaystyle S_{k}}$. Sendo , ${\displaystyle S_{k}}$  a soma dos k primeiros termos de uma série, denotando isso por:

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}u_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{k}}$

Definição

Define-se a soma S de uma série infinita, o limite das somas parciais quando o limite dessas somas parciais existe, ou seja, quando S é um número real.

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}u_{n}=\lim _{k\to \infty }S_{k}}$

Aspectos históricos

Somas infinitas surgiram há séculos. A fim de obter a área de um segmento parabólico, Arquimedes ( 250 a.C.) necessitou calcular a soma da progressão 1 + ¼ + (¼)2 + (¼)3 + ... = 4/3 . Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros cálculos de somas infinitas. Por volta de 1350, utilizando “processos infinitos”, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator).

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante ${\displaystyle \pi }$) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de ${\displaystyle \pi .}$ Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

Em 1748, L. Euler publicou o texto Introductio in analysin infinitorum, em dois volumes. O primeiro deles versava sobre processos infinitos, entre os quais séries infinitas. Euler era pouco cuidadoso no uso de tais séries, e as manipulava arriscadamente. Usando a série da função sen z = z – z3/3 + z5/5! - ... e de artifícios engenhosos, Euler conseguiu resolver uma difícil questão que J. Bernoulli não tivera sucesso, a de obter a soma dos recíprocos dos quadrados perfeitos. Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

Classificação das séries quanto à convergência ^[2]

Nome		Limite ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ existe?	Limite ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ existe?	Exemplo deste tipo de série
Série convergente (seus termos formam uma sequência dita somável)	absolutamente convergente	Sim e é finito	Sim e é finito	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a^{n},\forall |a|<1}$
	condicionalmente convergente	Sim e é finito	Não existe	A soma ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ converge, mas se a tomarmos em módulo teremos uma soma divergente
Série divergente		Não existe	-	Os somatórios ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ divergem.
Série oscilante		Não	-	O somatório ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

• Obs.: Alguns autores, sobretudo fora do escopo da análise real ou na teoria das séries divergentes, definem como série divergente toda aquela que não é convergente.